泛函与变分笔记

定义

泛函:(functional)通常是指一种定义域为函数,而值域为实数的“函数”。换句话说,就是从函数组成的一个向量空间到实数的一个映射。也就是说它的输入为函数,而输出为实数。Π(y)是函数y(x)的泛函,即在其定义域内,任一函数y(x)都有一个实数Π(y)与之对应[1]

变分命题:寻找y(x)使得泛函Π(y)取极值。

变分方法:设使泛函取得极值的函数y(x)存在,通过变分法求得这个极值函数y(x)所需满足的微分方程。

变分法中的符号

给定函数y(x) 给定泛函Π(y)
宗量:x 宗量:y
函数:y(x) 泛函:Π(y)
宗量的增量:Δx 函数的变分:δy
函数的增量:Δy=y(x+Δx) - y(x) 泛函的变分:δΠ=Π(y +δy)-Π(y)
当两点无限接近:Δx→dx, Δy→dy
略去高阶微量:dy=y’(x)dx
在计算δΠ时可以展开Π(y+δy)中的被积函数只保留线性项
当在x处取得函数极值:dy=0 当在y处取得泛函极值:δΠ=0

δy:函数y(x)在定义域内与y(x)+δy(x)处处无限接近。

根据微量计算规则,设y(x)和y(x)+δy(x)是有一阶接近的曲线:


  1. http://www.cad.zju.edu.cn/home/zhx/FAVM/1.pdf