泛函与变分笔记
定义
泛函:（functional）通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的“函数”。换句话说，就是从函数组成的一个向量空间到实数的一个映射。也就是说它的输入为函数，而输出为实数。Π(y)是函数y(x)的泛函，即在其定义域内，任一函数y(x)都有一个实数Π(y)与之对应1。
变分命题：寻找y(x)使得泛函Π(y)取极值。
变分方法：设使泛函取得极值的函数y(x)存在，通过变分法求得这个极值函数y(x)所需满足的微分方程。
变分法中的符号
| 给定函数y(x) | 给定泛函Π(y) |
|---|---|
| 宗量：x | 宗量：y |
| 函数：y(x) | 泛函：Π(y) |
| 宗量的增量：Δx | 函数的变分：δy |
| 函数的增量：Δy＝y(x+Δx) - y(x) | 泛函的变分：δΠ＝Π(y +δy)-Π(y) |
| 当两点无限接近：Δx→dx， Δy→dy 略去高阶微量：dy＝y’(x)dx |
在计算δΠ时可以展开Π(y+δy)中的被积函数只保留线性项 |
| 当在x处取得函数极值：dy＝0 | 当在y处取得泛函极值：δΠ＝0 |
δy：函数y(x)在定义域内与y(x)+δy(x)处处无限接近。
根据微量计算规则，设y(x)和y(x)+δy(x)是有一阶接近的曲线：