分部积分法
设函数\(u = u(x)\)，\(v = v(x)\)具有连续导数， 那么：
\[\begin{aligned} (uv)' &= u'v + uv' \newline u'v &= (uv)' - uv' \end{aligned}\]
对这个等式两边求不定积分，得：
\[\begin{equation} \label{e1} \int {uv'dx} = uv - \int {u'vdx} \end{equation}\]
式(\(\ref{e1}\))称为分部积分公式。 式(\(\ref{e1}\))还可表述成如下形式：
\[\begin{equation} \label{e2} \int {udv} = uv - \int {vdu} \end{equation}\]
它的作用是：若求\(\int {uv'dx}\)有困难，而求\(\int {u'vdx}\)较容易时，可采用分部积分公式。分部积分法是数学上常用的一种方法 — 转化法的具体运用1。
【例1】求\(\int {x\cos xdx}\) 设：
\[\begin{aligned} u &= x \newline dv &= \cos xdx \newline du &= dx \newline v &= \sin x \newline \end{aligned}\]
可得： \[\int {x\cos xdx} = x\sin x - \int {\sin xdx} = x\sin x + \cos x + C\]
http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/4.3%20%20fenbujifen.htm↩︎