定义

泛函:（functional）通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的“函数”。换句话说，就是从函数组成的一个向量空间到实数的一个映射。也就是说它的输入为函数，而输出为实数。Π(y)是函数y(x)的泛函，即在其定义域内，任一函数y(x)都有一个实数Π(y)与之对应^[1]。

变分命题：寻找y(x)使得泛函Π(y)取极值。

变分方法：设使泛函取得极值的函数y(x)存在，通过变分法求得这个极值函数y(x)所需满足的微分方程。

变分法中的符号

δy：函数y(x)在定义域内与y(x)+δy(x)处处无限接近。

根据微量计算规则，设y(x)和y(x)+δy(x)是有一阶接近的曲线：

设函数$u = u(x)$， $v = v(x)$具有连续导数， 那么：

$$\begin{aligned} (uv)' &= u'v + uv' \newline u'v &= (uv)' - uv' \end{aligned}$$

对这个等式两边求不定积分，得：

$$\begin{equation} \label{e1} \int {uv'dx} = uv - \int {u'vdx} \end{equation}$$

式(\ref{e1})称为分部积分公式。 式(\ref{e1})还可表述成如下形式：

$$\begin{equation} \label{e2} \int {udv} = uv - \int {vdu} \end{equation}$$

它的作用是：若求$\int {uv'dx}$有困难，而求$\int {u'vdx}$较容易时，可采用分部积分公式。分部积分法是数学上常用的一种方法 — 转化法的具体运用^[1]。

【例1】求$\int {x\cos xdx}$ 设：

$$\begin{aligned} u &= x \newline dv &= \cos xdx \newline du &= dx \newline v &= \sin x \newline \end{aligned}$$

可得： $$\int {x\cos xdx} = x\sin x - \int {\sin xdx} = x\sin x + \cos x + C$$

弧度：

$$\begin{aligned} \Delta s &= ({\pi \over {180}}\Delta \theta ^\circ )R \newline \Delta \theta &= {\pi \over {180}}\Delta \theta ^\circ \end{aligned}$$

所以：

$$\begin{aligned} \Delta s &= \Delta \theta R \newline {360^\circ } &= 2\pi \end{aligned}$$

切线速度：

$${v_T} = \frac{ds}{dt} = R\frac{d\theta}{dt} = \omega R$$

切线加速度：

$${a_T} = \frac{d{v_T}}{dt} = R\frac{d\omega }{dt} = \alpha R$$

向心加速度：

$${a_C} = \frac{v_T^2}{R} = {\omega ^2}R$$

转动刚体的动能公式：

$$K = \frac{1}{2}\sum\limits_i {m_iv_i^2} = \frac{1}{2}\sum\limits_i {m_iR_i^2\omega _i^2} = \frac{1}{2}I{\omega ^2}$$

从上式得出转动惯量：

$$I = \sum\limits_i {m_iR_i^2} $$

角动量：

$$L = I\omega $$

力矩：

$$\tau = \sum {F_iR_i} \sin {\theta _i} = \frac{dL}{dt} = I\alpha $$

向量：

$$\overrightarrow \tau = \overrightarrow r \times \overrightarrow F $$

转动刚体做功：

$$dW = \tau d\theta $$

物体的质心：

$$cm = \sum\limits_i {m_iR_i^2} $$

平衡轴定理：

$$I = {I_{cm}} + M{d^2}$$

$I_{cm}$为质心的转动惯量，$M$为物体的总质量，$d$为旋转轴到质心的距离。

显示资源库~/Library文件夹

打开Finder，先按shift-command-H，再按command-J，在弹窗口中选取“显示资源库文件夹”^[1]。

Bash profile 设置

Mac OS的 默认PATH为/usr/bin:/bin:/usr/sbin:/sbin:/usr/local/bin^[1]。我们想让Homebrew安装的软件优先级大于系统默认安装的软件（如Python）。在Terminal打开：

vim ~/.bash_profile

并且添加：

# Set architecture flags
export ARCHFLAGS="-arch x86_64"
# Ensure user-installed binaries take precedence
export PATH=/usr/local/bin:$PATH
# Load .bashrc if it exists
test -f ~/.bashrc && source ~/.bashrc

第一句的作用是让编译器知道系统是64位的。然后执行下面一句让配置生效：

source ~/.bash_profile

安装proxychains-ng

在使用brew update时，发现速度十分慢，于是可以尝试使用ProxyChains-NG^[2]，官方说明:

proxychains ng (new generation) - a preloader which hooks calls to sockets in dynamically linked programs and redirects it through one or more socks/http proxies. continuation of the unmaintained proxychains project.

使用Homebrew安装（如果是10.11，要先关闭SIP），并配置:

brew install proxychains-n
vim /usr/local/etc/proxychains.conf

在末尾，删掉socks4的那一条目（重要），并且根据实际添加代理：

socks5  127.0.0.1 1080

然后就可以通过在命令面前添加proxychains4使用代理了，如：

proxychains4 brew update
proxychains4 brew upgrade

安装Python及库

brew tap homebrew/science

brew install python

pip install virtualenv

pip install numpy

pip install cython
brew install gcc

pip install scipy
pip install matplotlib

brew install opencv3 --with-contrib --with-ffmpeg --with-tbb --with-libdc1394 --without-tests

echo /usr/local/opt/opencv3/lib/python2.7/site-packages >> /usr/local/lib/python2.7/site-packages/opencv3.pth

Determinant of a 2 × 2 matrices

$$\left| {\matrix{ a & b \cr c & d \cr } } \right| = ad - bc$$