坐标轴旋转和坐标变换
在三维空间里讨论旋转的时候，有两种常见的视角——坐标轴旋转和坐标变换。虽然它们可能看似相似，但在实际应用上存在显著区别。以下是它们的详细解释：
1. 坐标轴旋转（Active Rotation）
坐标轴旋转有时也被称为 "矢量旋转" 或 "主动旋转" (Active Rotation)。在这种解析下，我们旋转的是对象本身。换句话说，坐标轴保持不变，旋转的是矢量或点。
例子： 如果我们绕 y 轴逆时针旋转一个矢量 v = (1, 0, 0)：
旋转矩阵$ R_y(90^)$ 为：
\[ R_y(90^\circ) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
应用旋转矩阵到矢量 v：
\[ v' = R_y(90^\circ) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]
这里 v' 是旋转后的矢量。这表示在原始坐标系中，方向 (1, 0, 0) 旋转 90 度后变为方向 (0, 0, -1)。
2. 坐标变换（Passive Rotation）
坐标变换有时也被称为 "坐标系旋转" 或 "被动旋转" (Passive Rotation)。在这种解析下，我们其实是在旋转坐标系本身，矢量或点保持不变。
假设我们仍然使用绕 y 轴逆时针旋转 90 度的例子：
新的坐标系中的基向量会变成： - 新的 x 轴方向：之前的 (1, 0, 0) 旋转后现在方向是 (0, 0, -1)。 - 新的 z 轴方向：之前的 (0, 0, 1) 旋转后现在方向是 (1, 0, 0)。
在旋转后的坐标系中，基向量变换矩阵将会是（对比原始坐标系）：
\[ M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
在被动旋转的情况下，逆变换矩阵 $R_y{-1}(90) $ 应用于矢量：
\[R_y^{-1}(90^\circ) = R_y(-90^\circ) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
应用变换：
\[ v = R_y^{-1}(90^\circ) v' \]
基于这个理解，可以得到：
\[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = R_y^{-1}(90^\circ) \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]
总结
- 坐标轴旋转（Active Rotation）：在这种情况下，坐标轴保持不变，旋转的是矢量。因此，对应的旋转矩阵直接应用于矢量或点。
- 坐标变换（Passive Rotation）：在这种情况下，坐标系在旋转，但矢量或点保持不变。因此，我们要应用逆旋转矩阵（反向旋转矩阵）来转换矢量。
这两个方法本质上描述了相同的几何变换，但应用的视角和方式不同。