SCARA机械臂三四轴解耦

运动学分析

SCARA机械臂3、4关节$J_3$，$J_4$采用滚珠丝杠滚珠花键，其结构如图1¹所示。关节$J_3$与同步轮$N_2$联动，关节$J_4$与同步轮$N_1$联动。他们的运动关系如表1所示。

表. 1：电机与滚珠丝杠滚珠花键运动关系表

${\theta }_{J_3}$	${\theta }_{J_4}$	${\theta }_{N_1}$	${\theta }_{N_2}$	竖直运动	旋转运动
+	0	0	+	-	-
-	0	0	-	+	+
0	+	+	0	+	0
0	-	-	0	-	0

其中，$+$号表示正方向，$-$表示逆方向，$0$表示不运动，要注意${\theta }_{J_3}$，${\theta }_{J_4}$，${\theta }_{N_1}$，${\theta }_{N_2}$的方向是根据各自所在的坐标下的，具体方向根据图.2所示的DH(Denavit-Hartenberg)坐标系定义，而竖直运动和旋转运动是相对于$X_0{Y}_0{Z}_0$基坐标系。

从表中可以看出，当关节电机$J_4$带动同步轮$N_1$进行正方向运动（$X_3{Y}_3{Z}_3$坐标系），而$N_2$不动时，轴仅仅会向上运动（相对于$X_0{Y}_0{Z}_0$基坐标系）。当关节电机$J_3$带动同步轮$N_2$进行正方向运动（$X_2{Y}_2{Z}_2$坐标系），而$N_1$不动时，轴在向下运动同时，还会逆时针反方向运动（$X_0{Y}_0{Z}_0$基坐标系）。由此可见，$N_1$和$N_2$相互耦合，需要配合运动。在机械人中，通过逆运动学求得$d_3$，${\theta }_4$后，需要通过关节解耦求出电机的转角${\theta }_{J_3}$，${\theta }_{J_4}$²。

scara_skew_bal

图.1: 滚珠丝杠滚珠花键。

scara_mode

图.2: SCARA型机械臂的DH坐标系分配。

关节解耦

经上述分析，可得出以下关系式：

对于$N_1$，有：

$$\begin{array}{rl}{y}_1& =\alpha {\theta }_{N_1}\\ {\theta }_{N_1}& =k_1{\theta }_{J_4}\\ \text{(1)}& \therefore y_1& =\alpha k_1{\theta }_{J_4}\end{array}$$

其中，$y_1$表示$N_1$运动导致的竖直方向位移（$X_0{Y}_0{Z}_0$坐标系）；$\alpha$为螺距，单位为$m/rad$，表示为$N$转动的弧度${\theta }_N$与所产生轴上下移动的位移比例；$k$表示电机$J$与同步轮$N$之间的减速比。

同样地，对于$N_2$，有：

$$\begin{array}{rl}{y}_2& =－\alpha {\theta }_{N_2}\\ {\theta }_{N_2}& =k_2{\theta }_{J_3}\\ \text{(2)}& \therefore y_2& =－\alpha k_2{\theta }_{J_3}\end{array}$$

则：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\theta }_4& ={\theta }_{N_2}\text{(4)}& -d_3& =y_1+y_2\end{array}$$

注意$d_3$是相对于$X_2{Y}_2{Z}_2$坐标系的，而$y_1$，$y_2$是相对于$X_0{Y}_0{Z}_0$坐标系的，由于$Z_2$与$Z_0$方向相反，所以$d_3$前有一个负号。将公式$\text{(1)}$，$\text{(2)}$代入公式$\text{(3)}$，$\text{(4)}$，可得：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\theta }_{J_3}& =\frac{{\theta }_4}{k_2}\text{(6)}& {\theta }_{J_4}& =\frac{1}{k_1}({\theta }_4-\frac{d_3}{\alpha })\end{array}$$

所以，算法流程如下：

1. 使用逆运动学方法，将基于基坐标系（Base Frame）$X_0{Y}_0{Z}_0$的目标点（包括坐标跟姿态）转换成广义坐标（Generalized Coordinates）下的$d_3$，${\theta }_4$。
2. 使用公式$\text{(5)}$，$\text{(6)}$，关节解耦求出电机的转角${\theta }_{J_3}$，${\theta }_{J_4}$。

在我们的实体机器人中，$k_1=1$，$k_2=1/7$，$\alpha =0.016m/2\pi =0.002546479089m/rad$，所以有：

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\theta }_{J_3}& =7{\theta }_4\text{(8)}& {\theta }_{J_4}& ={\theta }_4-392.69908177d_3\end{array}$$

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1. https://www.nbcorporation.com/product/new/spbr/spbr.html↩︎

2. 胡杰, 张铁. 基于 SCARA 机器人的运动学分析及关节解耦. 机床与液压. 2011;39(21):28-31.↩︎