Hanjie's Blog

我们假设质点进行匀速圆周运动，有：\[\left| {\vec {v_1} } \right| = \left| {\vec {v_2} } \right|\]

因为两个绿色区域相似，有：\[\frac{\left| {\vec {\Delta r} } \right|}{\left| {\vec r} \right|} = \frac{\left| {\vec {\Delta v} } \right|}{\left| {\vec v} \right|}\] 因为路程＝速度*时间，当\(\theta \to 0\)时，有：\[\left| \vec {\Delta r} \right| = \left| {\vec v} \right|\Delta t\]

\[\frac{\left| \overrightarrow {\Delta r} \right|}{\left| \overrightarrow r \right|} = \frac{\left| {\vec v} \right|\Delta t}{\left| {\vec r} \right|} = \frac{\left| {\overrightarrow {\Delta v} } \right|}{\left| {\vec v} \right|}\]

\[\therefore \frac{ {\vec v}^2 \Delta t }{\left| \vec r\right|} = \frac{\left| \vec {\Delta v} \right|}{\Delta t} = \vec a \]

当\(t \to 0\)时成立。最后有：

\[\vec a = \frac{ {\vec v}^2}{\left| {\vec r} \right|}\overrightarrow n\]

\(\overrightarrow n\)为法向量，指向圆心；\(\vec a\)即为向心加速度。

定义

泛函:（functional）通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的“函数”。换句话说，就是从函数组成的一个向量空间到实数的一个映射。也就是说它的输入为函数，而输出为实数。Π(y)是函数y(x)的泛函，即在其定义域内，任一函数y(x)都有一个实数Π(y)与之对应¹。

变分命题：寻找y(x)使得泛函Π(y)取极值。

变分方法：设使泛函取得极值的函数y(x)存在，通过变分法求得这个极值函数y(x)所需满足的微分方程。

变分法中的符号

δy：函数y(x)在定义域内与y(x)+δy(x)处处无限接近。

根据微量计算规则，设y(x)和y(x)+δy(x)是有一阶接近的曲线：

设函数\(u = u(x)\)，\(v = v(x)\)具有连续导数， 那么：

\[\begin{aligned} (uv)' &= u'v + uv' \newline u'v &= (uv)' - uv' \end{aligned}\]

对这个等式两边求不定积分，得：

\[\begin{equation} \label{e1} \int {uv'dx} = uv - \int {u'vdx} \end{equation}\]

式(\(\ref{e1}\))称为分部积分公式。 式(\(\ref{e1}\))还可表述成如下形式：

\[\begin{equation} \label{e2} \int {udv} = uv - \int {vdu} \end{equation}\]

它的作用是：若求\(\int {uv'dx}\)有困难，而求\(\int {u'vdx}\)较容易时，可采用分部积分公式。分部积分法是数学上常用的一种方法 — 转化法的具体运用¹。

【例1】求\(\int {x\cos xdx}\) 设：

\[\begin{aligned} u &= x \newline dv &= \cos xdx \newline du &= dx \newline v &= \sin x \newline \end{aligned}\]

可得： \[\int {x\cos xdx} = x\sin x - \int {\sin xdx} = x\sin x + \cos x + C\]