分部积分法

设函数$u = u(x)$, $v = v(x)$具有连续导数, 那么:

$$\begin{aligned} (uv)' &= u'v + uv' \newline u'v &= (uv)' - uv' \end{aligned}$$

对这个等式两边求不定积分,得:

$$\begin{equation} \label{e1} \int {uv'dx} = uv - \int {u'vdx} \end{equation}$$

式(\ref{e1})称为分部积分公式。 式(\ref{e1})还可表述成如下形式:

$$\begin{equation} \label{e2} \int {udv} = uv - \int {vdu} \end{equation}$$

它的作用是:若求$\int {uv'dx}$有困难,而求$\int {u'vdx}$较容易时,可采用分部积分公式。分部积分法是数学上常用的一种方法 — 转化法的具体运用[1]

【例1】求$\int {x\cos xdx}$ 设:

$$\begin{aligned} u &= x \newline dv &= \cos xdx \newline du &= dx \newline v &= \sin x \newline \end{aligned}$$

可得: $$\int {x\cos xdx} = x\sin x - \int {\sin xdx} = x\sin x + \cos x + C$$


  1. http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/lesson/4.3%20%20fenbujifen.htm